Peaninho
Vi num livro, perdi de vista, a santa Web nos
socorre. Não vou comentar todos, demoraria muito tempo, tenho mais coisas a
fazer.
O
QUE É AXIOMA
(uma verdade auto evidente)
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Axioma
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Na lógica tradicional, um axioma ou postulado
é uma sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada e é
considerada como óbvia ou como um consenso inicial necessário para a
construção ou aceitação de uma teoria. Por essa razão, é aceita como verdade e
serve como ponto inicial para dedução e inferências de outras verdades (dependentes de teoria).
Na matemática, um axioma é uma hipótese inicial de qual outros enunciados são
logicamente derivados. Pode ser uma sentença, uma proposição, um enunciado ou
uma regra que permite a construção de um sistema formal. Diferentemente de teoremas, axiomas não podem ser derivados por
princípios de dedução e nem são demonstráveis por derivações
formais, simplesmente porque eles são
hipóteses iniciais. Isto é, não há mais nada a partir do que eles seguem
lógicamente (em caso contrário eles seriam chamados teoremas). Em muitos
contextos, "axioma", "postulado" e "hipótese" são usados como
sinônimos.
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OS
FALSOS AXIOMAS
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ANUNCIADO DE PEANO
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NEGAÇÃO
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1
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“0 é um número natural”.
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Não é, zero não é número, é função, aliás,
sete funções (veja o texto Sete
Funções do Zero).
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2
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É o próximo número, é como dizer, Zeca é
Zeca e não passa de Zeca. Repetição boboca, os lógicos se dão ares de
importância e complicam tudo. Não pode ser reflexiva porque reflexo devolve o
contrário (nem tem sentido tirar a palavra de seu sentido comum).
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3
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É até abusivo ficar repetindo: 3 é 3 – se 3
for A, A é 3.
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4
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“Para todos os números naturais x, y, e z, se x
= y e y = z, então x = z. Ou seja, a
igualdade é transitiva”.
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De cima, se 3 for A e B for A, B é 3. Para
quê anunciar essas bobagens (ficava extremamente inquieto quando chamavam
isso de lógica na faculdade, não sabia do que estavam falando).
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5
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“Para todos a e b, se a for um número natural e a
= b, então b também é um número natural. Isto é, os números
naturais são fechados em sua igualdade”.
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Sendo A e B um só número é claro que A (B)
é natural, SE FOR NATURAL.
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No livro que li de passagem, ele diz que
existem sucessores, isto é, se há um número, há um sucessor: NÃO, de modo
nenhum, presumimos que haja porque toda vez que imaginamos 1.000.001 imaginamos
poder haver 1.000.002 – não necessariamente, pois podemos nunca encontrar um
número tão grande quanto 1.000.002. ANUNCIAMOS DESENHOS numéricos, que não são
necessariamente reais: o googleplex que o garoto inventou existe? Um
saco-conjunto com 300 bananas tem um sucessor com 301 bananas? De modo nenhum
seria afirmativo TAXATIVAMENTE: pode ser que sim e pode ser que não. O que
temos chamado de números são desenhos mentais: POSSIBILIDADES de existências
não são existências.
O birocó pode existir ou não.
Só porque desenho a palavra o ser operativo
existe?
Tudo isso deve ser revisto e descomplicado,
especialmente a teoria dos conjuntos de Cantor, que confunde conjuntos com
balaios. Podendo, exporei os deméritos dessa questão.
Vitória, sexta-feira, 10 de junho de 2016.
GAVA.
ANEXO
- PEANO
Giuseppe Peano
Origem: Wikipédia, a
enciclopédia livre.
Giuseppe
Peano (27 de
agosto de 1858 – Turim, 20 de
abril de 1932) foi um matemático italiano. Autor
de mais de 200 livros e artigos, ele foi um dos fundadores da lógica matemática e da teoria dos conjuntos, para as quais
ele também contribuiu bastante da notação. A axiomatização padrão dos números naturais é chamada de axiomas
de Peano, em sua homenagem. Como parte desse esforço, ele fez
contribuições fundamentais para o tratamento rigoroso e sistemático moderno
do método da indução matemática. Ele passou a
maior parte da sua carreira ensinando matemática na Universidade de Turim.
Biografia
Aritmetica generale e
algebra elementare, 1902
Peano
nasceu e foi criado em uma fazenda em Spinetta, uma aldeia hoje em dia
pertencente ao Cuneo, Piemonte, Itália.
Frequentou o Liceo classico
Cavour em Turim e se matriculou na Universidade de Turim, em 1876, se
graduando em 1880 com mérito e logo depois foi contratado pela universidade
para auxiliar primeiramente Enrico D'Ovidio e depois Angelo Genocchi, o
professor catedrático de cálculo infinitesimal. Devido a
problemas de saúde de Genocchi's, Peano assumiu o ensino do curso de cálculo
infinitesimal dentro de 2 anos. Seu primeiro grande trabalho, um livro sobre
o cálculo, foi publicado em 1884 e creditado a Genocchi. Alguns anos depois,
Peano publicou seu primeiro livro lidando com a lógica matemática. Foi aí que
os símbolos modernos para a união e intersecção de conjuntos apareceram pela
primeira vez.[1]
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Axiomas de Peano
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Em lógica
matemática, os axiomas de Peano,
também conhecidos como os axiomas de Dedekind-Peano ou postulados
de Peano, são um conjunto de axiomas para os números
naturais apresentado pelo matemático italiano do século XIX Giuseppe Peano. Esses axiomas vêm sendo utilizados
praticamente sem modificações em diversas investigações metamatemáticas, incluindo pesquisas em questões fundamentais
de consistência e completude da teoria dos
números.
A necessidade do formalismo na Aritmética não era apreciada até o trabalho de Hermann
Grassmann, que mostrou na década de
1860 que muitos fatos da aritmética poderiam ser derivados de fatos mais
básicos sobre operação de sucessor e indução. Em 1881, Charles Sanders Peirce mostrou uma forma de axiomatização da aritmética de números naturais.
Em 1888, Richard
Dedekind propôs uma coleção de
axiomas sobre os números, e em 1889 Peano publicou uma versão mais
precisamente formulada das anteriores, em uma coleção de axiomas no seu
livro, "Os principios da Aritmética apresentados por um novo
método" (Em Latim: Arithmetices principia, nova methodo
exposita).
Os axiomas de Peano contêm três tipos de declarações. O primeiro
axioma afirma a existência de pelo menos um membro no conjunto
"números". As quatro seguintes são afirmações gerais a respeito de igualdade. Os
próximos três axiomas são declarações da Lógica de primeira ordem sobre números naturais expressando as propriedades fundamentais da
operação de sucessor. O nono e último axioma, é uma declaração da lógica de segunda ordem do princípio da indução
matemática sobre os números naturais.
Um sistema de primeira ordem mais "fraco" chamado aritmética de
Peano é obtido ao adicionar os símbolos de adição e multiplicação e
substituir o axioma de indução em segunda ordem por um esquema axiomático de primeira ordem.
Os axiomas
Quando Peano formulou seus axiomas, a linguagem de lógica
matemática ainda era nova. O sistema
de notação lógica por ele criado para a apresentação de seus axiomas não se
mostrou popular, apesar de ser a gênese da notação moderna de pertinência (∈, derivado do ε utilizado por Peano) e implicação (⊃, derivado do 'C' invertido
de Peano). Peano manteve uma distinção clara entre a simbologia lógica e a
matemática, o que não era ainda comum na matemática; tal separação foi
introduzida pela primeira vez no Begriffsschrift, de Gottlob Frege, publicado em 1879. Peano desconhecia o
trabalho de Frege e independentemente recriara suas técnicas lógicas se
baseando nos trabalhos de Boole e Schröder.
Os axiomas de Peano definem as propriedades aritméticas de números
naturais, geralmente representadas como o conjunto N ou A assinatura (os símbolos não-lógicos de uma linguagem formal) para os axiomas incluem o símbolo de
constante 0 e o símbolo de função unária S.
A constante 0 é considerada um número natural:
Os axiomas restantes definem as propriedades aritméticas dos números
naturais. Os naturais são fechados sob a função unária de sucessor S.
As formulações originais dos axiomas de Peano utilizavam o 1 como
"primeiro" número natural, ao invés do 0. A escolha é arbitrária,
uma vez que o primeiro axioma não concede à constante 0 nenhuma propriedade
adicional. No entanto, como 0 é o elemento neutro, a maioria das interpretações modernas dos
axiomas de Peano se inicia no 0. Os axiomas 1 e 6 definem uma representação unária dos números naturais: o número 1 pode ser
definido como S(0), 2 como S(S(0)) (que também é S(1))
e, no geral, qualquer número natural n como Sn(0).
Os dois próximos axiomas definem as propriedades dessa representação.
Os axiomas 1, 6 e 7 implicam que o conjunto de números naturais contém
os elementos distintos 0, S(0), S(S(0)), e assim por
diante; em outras palavras, é informalmente conhecido o fato de que {0, S(0),
S(S(0)), …} ⊆ N, de modo que qualquer
elemento buscado está contido em N. (Também se sabe que o conjunto dos
naturais é infinito, porque contém um subconjunto infinito.) Para mostrar que
N = {0, S(0), S(S(0)), …}, deve ser mostrado que N ⊆ {0, S(0), S(S(0)), ...}; ou seja, é necessário
ser mostrado que todo número natural está incluso em {0, S(0), S(S(0)),
...}, de modo que o conjunto de números naturais não possua nenhum elemento
"indesejado" (por exemplo o decimal 1.7). Para que isso seja feito,
no entanto, é necessário mais um axioma, também chamado de axioma da indução.
Este axioma gera um método para a racionalização do conjunto de todos os
números naturais.
então K contém todos
os números naturais.
O axioma da indução é, às vezes, proposto da seguinte maneira:
então φ(n) é
verdadeiro para todo número natural n.
Na concepção original de Peano, o axioma da indução é um axioma de segunda-ordem. Atualmente, é comum substituir esse princípio de segunda-ordem por
um esquema de indução de primeira-ordem mais fraco. Há importantes diferenças entre formulações de
primeira-ordem e segunda-ordem, como discutido nos modelos abaixo. Sem o
axioma da indução, os axiomas restantes de Peano geram uma teoria de uma
função unária injetora mas não sobrejetora, que pode ser expressa sem lógica
de segunda-ordem.
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